Секториальный момент инерции — это геометрическая характеристика открытых тонкостенных сечений, которая отражает их способность сопротивляться изгибно-крутильным деформациям.
По аналогии с осевым моментом инерции, который задаётся через координаты точек относительно оси, секториальный момент инерции задаётся через секториальную координату ω:
I_ω = \int ω^2 \, dA \, \left( \text{см}^6 \right)
- A — площадь поперечного сечения;
- dA — бесконечно малый элемент площади сечения;
- ω — секториальная координата сечения.
Для упрощения вычисления секториальных моментов инерции в инженерных расчётах можно использовать приближенные зависимости. Например, секториальный момент инерции симметричного двутавра определяется по формуле через осевой момент инерции в слабой плоскости:
I_{\omega. \text{дв}} \approx \frac{I_y \cdot h^2}{4}
Рисунок 1 — Определение секториального момента инерции симметричного двутавра
Применение секториального момента инерции в инженерных расчётах
Секториальный момент инерции используется в задачах, где в элементах возникает стеснённое кручение — это состояние, при котором поворот сечений вокруг продольной оси частично или полностью ограничен опорами, связями или узлами. В этом случае при действии крутящих и изгибающих моментов поперечные сечения уже не могут деформироваться как плоские, и возникает искривление сечений (депланация).
Важно различать свободное и стеснённое кручение. При свободном кручении депланация сечения не вызывает дополнительных нормальных напряжений, а при стеснённом — её развитие ограничено, что приводит к возникновению нормальных напряжений и бимомента.
Типичный пример — одностороннее опирание второстепенных балок на главные: усилие передаётся на главную балку с эксцентриситетом, что вызывает в её сечении крутящий момент. Для корректного учёта напряжённого состояния применяют секториальные характеристики. Подробнее это рассмотрено в статье «Влияние кручения на напряжения в элементах перекрытий и покрытий».
Рисунок 2 — Расчетная схема с учетом эксцентриситета
Также секториальный момент инерции используется при расчёте прогонов в покрытиях с уклоном, когда возникает косой изгиб с кручением. Например, в альбоме технических решений прогоны рассчитаны на косой изгиб с кручением, на основании п. 8 СП 16.13330.2017, а также пособия Д.В. Бычкова «Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций».
Обозначения секториальных характеристик (СП 16.13330.2017, Приложение А)
- ω — секториальная координата;
- Iω — секториальный момент инерции сечения брутто;
- Iωn — секториальный момент инерции сечения нетто;
- Wω — секториальный момент сопротивления сечения брутто;
- Wωn — секториальный момент сопротивления сечения нетто;
- Wcω — секториальный момент сопротивления сечения, вычисленный для наиболее сжатого волокна сжатого пояса.
Примеры использования секториальных характеристик в строительных нормах
| Нормативный документ | Пункт | Тип проверки | Формула |
|---|---|---|---|
| СП 16.13330.2017 | п. 8.2.1 | Прочность балок 1-го класса при действии момента в двух плоскостях и бимомента |
\frac{M_x}{I_{xn} R_y \gamma_c} \cdot y \pm \frac{M_y}{I_{yn} R_y \gamma_c} \cdot x \pm \frac{B \cdot \omega}{I_{\omega n} R_y \gamma_c} \le 1 |
| СП 16.13330.2017 | п. 8.4.1 | Устойчивость балок 1-го класса при изгибе в двух главных плоскостях и наличии бимомента |
\frac{M_x}{\varphi_b W_{cx} R_y \gamma_c} \pm \frac{M_y}{W_{cy} R_y \gamma_c} \pm \frac{B}{W_{c\omega} R_y \gamma_c} \le 1 |
| СП 260.1325800.2023 | п. 8.2.13 | Критическая сила для крутильной формы потери устойчивости в упругой стадии |
N_{cr,T} = \frac{1}{i_0^2} \left( G I_t + \frac{\pi^2 E I_\omega}{l_T^2} \right) |
