Момент инерции — геометрическая характеристика поперечного сечения стержня, отражающая распределение его площади относительно произвольной оси. Момент инерции вычисляется по следующей формуле:
- A — площадь поперечного сечения;
- dA — бесконечно малый элемент площади сечения (рисунок 1);
- y — расстояние от оси x до элемента площади dA (рисунок 1).
Рисунок 1 — Характеристики для определения момента инерции
Аналогия с инертностью в механике помогает лучше понять физический смысл момента инерции. В механике масса тела определяет его инертность, то есть сопротивление изменению скорости при приложении силы. Аналогично, момент инерции сечения определяет «инертность» конструкции относительно изгиба: чем больше момент инерции, тем больше усилие требуется для того, чтобы вызвать изгиб элемента относительно заданной оси.
Моменты инерции относительно разных осей имеют разное значение. При повороте осей на заданный угол α моменты инерции вычисляются по следующим формулам:
Рисунок 2 — Поворот осей на заданный угол \alpha
Данные формулы можно представить в графическом виде (рисунок 3). По графику видно, что при определенных угла поворота осей (\alpha_{0} и \alpha_{0}+\pi/2) момент инерции достигает максимального (I_{max}) и минимального значений (I_{min}). Эти углы соответствуют главным осям инерции сечения.
Рисунок 3 — Зависимость момента инерции от угла поворота осей
В инженерных расчетах чаще всего используются моменты инерции относительно главных центральных осей, т.е. главных осей, проходящих через центр тяжести сечения (для симметричных профилей они совпадают с осями симметрии сечения).
Для максимизации момента инерции необходимо распределить площадь сечения на наибольшем расстоянии от оси. Например, при равной площади сечения момент инерции относительно главной оси Х у двутаврового профиля будет значительно выше, чем у квадратного (рисунок 4).
Рисунок 4 — Момент инерции двутавра 20Ш1 относительно главной оси х в 20 раз больше, чем у эквивалентного по площади квадрата
Обозначения моментов инерции (СП 16.13330.2017, Приложение А)
- I_{x}; I_{y} — моменты инерции сечения брутто относительно осей x-x и y-y соответственно;
- I_{xn}; I_{yn} — моменты инерции сечения нетто относительно осей x-x и y-y соответственно;
- I_{b} — моменты инерции сечения ветви;
- I_{m}; I_{d} — моменты инерции сечения пояса и раскосов фермы;
- I_{r} — моменты инерции сечения ребра, планки;
- I_{rl} — моменты инерции сечения продольного ребра.
Применение момента инерции в инженерных расчетах
Момент инерции сечения определяет изгибную жесткость стержня: чем больше момент инерции, тем выше жесткость стержня на изгиб. Он используется при определении прогибов балок и в расчетах на устойчивость (например, для вычисления расчетных длин элементов конструкции — таблица 31 СП 16.13330.2017)
- E\cdot I_{x} — изгибная жесткость;
- \frac{1}{\rho} — кривизна изогнутого стержня;
- M — изгибающий момент в сечении;
- E — модуль упругости материала;
- I_{x} — момент инерции относительно оси X.
Кроме того, через отношение момента инерции к расстоянию между осью сечения и его наиболее удаленной точкой определяется момент сопротивления сечения, который характеризует способность сечения сопротивляться изгибающим моментам и используется при проверке изгибаемых элементов на прочность.