Секториальный момент инерции — это геометрическая характеристика открытых тонкостенных сечений, которая отражает их способность сопротивляться изгибно-крутильным деформациям.
Тонкостенными стержнями называются стержни, у которых толщина стенок значительно меньше (8-10 раз) размеров поперечного сечения его, а длина значительно больше (8-10 раз) размеров сечения.
По аналогии с осевым моментом инерции, который задается через координаты точек относительно оси, секториальный момент инерции задается через секториальную координату ω:
- A — площадь поперечного сечения;
- dA — бесконечно малый элемент площади сечения
- ω — секториальная координата сечения
Для упрощения вычисления секториальных моментов инерции в инженерных расчетах можно использовать приближенные формулы. Например, секториальный момент инерции симметричного двутавра вычисляется через осевой момент инерции в слабой плоскости:
Рисунок 1 — Момент инерции симметричного двутавра
Применение момента инерции в инженерных расчетах
Секториальный момент инерции используется в задачах, где в элементах возникает стесненное кручение — когда поворот сечений вокруг продольной оси частично или полностью ограничен опорами, связями или узлами. В этом случае при действии крутящих и изгибающих моментов поперечные сечения уже не могут деформироваться как плоские, и возникает искривление сечений (депланация).
Типичный пример — одностороннее опирание второстепенных балок на главные: усилие передаётся на главную балку с эксцентриситетом, что вызывает в её сечении крутящий момент. Для корректного учёта напряжённого состояния применяют секториальные характеристики. Подробнее это рассмотрено в статье «Влияние кручения на напряжения в элементах перекрытий и покрытий».
Также секториальный момент инерции используется при расчете прогонов в покрытиях с уклоном, когда возникает косой изгиб с кручением. Например, в альбоме технических решений прогоны рассчитаны на косой изгиб с кручением, на основании п. 8 СП 16.13330.2017, а также пособия Д.В. Бычкова «Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций».
Обозначения секториальных характеристик (СП 16.13330.2017, Приложение А)
ω — секториальная координата
Iω — секториальный момент инерции сечения брутто
Iωn — секториальный момент инерции сечения нетто
Wω — секториальный момент сопротивления сечения брутто
Wωn — секториальный момент сопротивления сечения нетто
Wcω — секториальный момент сопротивления сечения, вычисленный для наиболее сжатого волокна сжатого пояса. секториальный момент инерции сечения
Примеры использования секторальных характеристик в строительных нормах
| Нормативный документ | Пункт | Тип проверки | Формула |
|---|---|---|---|
| СП 16.13330.2017 | п. 8.2.1 | Прочность балок 1-го класса при действии момента в двух плоскостях и бимомента |
\frac{M_x}{I_{xn} R_y \gamma_c} \cdot y + \frac{M_y}{I_{xn} R_y \gamma_c} \cdot x + \frac{B \cdot \omega}{I_\omega n R_y \gamma_c} \le 1
|
| СП 16.13330.2017 | п. 8.4.1 | Устойчивость балок 1 класса при изгибе двух главных плоскостях и наличии бимомента |
\frac{M_x}{\varphi_b W_cx R_y \gamma_c} + \frac{M_y}{W_cy R_y \gamma_c} + \frac{B}{W_c\omega R_y \gamma_c} \le 1
|
| СП 260.1325800.2023 | п. 8.2.13 | Критическая сила для крутильной формы потери устойчивости в упругой стадии |
N_{cr,T} = \frac{1}{i_0^2} \left( G I_t + \frac{\pi^2 E I_\omega}{l_T^2} \right)
|
