Радиус инерции — геометрическая характеристика поперечного сечения стержня, выражающая расстояние от произвольной оси до точки, в которой можно условно сосредоточить всю площадь поперечного сечения таким образом, чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции исходного сечения. Следовательно, радиус инерции выражается следующим образом:
- A — площадь поперечного сечения;
- I_x — момент инерции поперечного сечения относительно оси x.
В инженерных расчетах используют радиусы инерции относительно главных центральных осей (подробнее в статье «Момент инерции»).
Рисунок 1 — Визуальное представление радиуса инерции
Обозначения радиусов инерции (СП 16.13330.2017, СП 266.1325800.2016, СП 15.13330.2020)
- i — радиус инерции сечения;
- i_{min} — наименьший радиус инерции сечения;
- i_{x}; i_{y} — радиусы инерции сечения относительно осей x-x и y-y соответственно;
- i_{red} — радиус инерции приведенного сечения.
Применение радиуса инерции в инженерных расчетах
На основании определения (i_x = \sqrt{{I_x} / {A}} ), можно заключить, что радиус инерции характеризует соотношении жесткости стержня на изгиб и на сжатие (EI и EA), поэтому он используется в расчетах сжатых и сжато-изгибаемых элементов, в частности, в расчетах на устойчивость.
Например, через радиус инерции определяется гибкость стержня, от которой, в свою очередь, зависит коэффициент устойчивости при сжатии:
- \lambda_x — гибкость стержня относительно оси х;
- l_{ef.x} — расчетная длина стержня относительно оси х;
- i_x — радиус инерции сечения относительно оси х.
Также с помощью радиуса инерции определяется область вокруг центра тяжести сечения (называемая ядром сечения), внутри которой приложение точечной сжимающей силы Р не вызовет в сечении растягивающих напряжений (рисунок 2). Положение ядра сечения играет важную роль в оценке влияния эксцентриситетов приложения силы на напряженно-деформированное состояние при сжатии и растяжении.
Рисунок 2 — Эпюры нормальных напряжений при приложении сжимающей нагрузки вне, на границе и внутри ядра сечения
Таблица 1 — Примеры использования радиуса инерции
| Нормативный документ | Пункт | Тип проверки | Формула |
|---|---|---|---|
| СП 16.13330.2017 | 10.4.1 | Предельная гибкость стержня |
\frac{l_{ef}} {\color{#E52314} i } < \lambda_u
|
| СП 16.13330.2017 | 7.1.3 | Устойчивость элементов сплошного сечения при центральном сжатии |
\frac{N}{\varphi \cdot A \cdot R_y \cdot \gamma_c} \leq 1
\varphi = \dfrac{0,5\left(\delta - \sqrt{\delta^2 - 39,48 \cdot \lambda{_\text{усл}}}\right)}{\lambda^2{_\text{усл}}}
\lambda{_\text{усл}} = \dfrac{l_{ef}} {\color{#E52314} i} \cdot \sqrt{\dfrac{R_y}{E}}
|
| СП 15.13330.2020 | 9.21 | Допустимое отношение высоты этажа и толщины стены |
\frac{H}{h_{\text{red}}} \leq \beta
h_{\text{red}} = 3,5 \cdot {\color{#E52314} i }
|
| СП 15.13330.2020 | 7.1 | Устойчивость элементов неармированных каменных конструкций при центральном сжатии |
N \leq m_g \cdot \varphi \cdot R \cdot A
m_g = 1 при { \color{#E52314} i } \geq 8,7 см
|
| СП 15.13330.2020 | 7.20 | Срез неармированной кладки по неперевязанным швам и перевязанным швам кладки |
Q \leq \left( R_{sq} + 0,8 \cdot n \cdot \mu \cdot \sigma_0 \right) \cdot A
При эксцентриситетах, выходящих за пределы ядра сечения:
A = A_C
|
| СП 15.13330.2020 | 7.32 | Устойчивость внецентренно сжатых элементов с сетчатым армированием |
При малых эксцентриситетах, не выходящих за пределы ядра сечения:
N \leq m_g \cdot \varphi_1 \cdot R_{skb} \cdot A_c \cdot \omega
|
