Момент инерции — это геометрическая характеристика поперечного сечения стержня, отражающая распределение его площади относительно произвольной оси. Момент инерции сечения — это количественная мера того, насколько эффективно материал сечения удалён от выбранной оси и способен сопротивляться изгибу.
Момент инерции вычисляется по следующей формуле:
I_x = \int_A y^2 \, dA \, \left( \text{см}^4 \right)
- A — площадь поперечного сечения;
- dA — бесконечно малый элемент площади сечения (рисунок 1);
- y — расстояние от оси x до элемента площади dA (рисунок 1).
Рисунок 1 — Характеристики для определения момента инерции
Момент инерции измеряется в \text{см}^4 или \text{мм}^4.
Аналогия с инертностью в механике помогает лучше понять физический смысл момента инерции. В механике масса тела определяет его инертность, то есть сопротивление изменению скорости при приложении силы. Аналогично, момент инерции сечения определяет «инертность» конструкции относительно изгиба: чем больше момент инерции, тем больше усилие требуется для того, чтобы вызвать изгиб элемента относительно заданной оси.
Простыми словами, чем дальше материал расположен от оси изгиба, тем выше жесткость элемента.
Моменты инерции относительно разных осей имеют разное значение. Осевой момент инерции определяется относительно конкретной расчетной оси. При повороте осей на заданный угол \alpha моменты инерции вычисляются по следующим формулам:
I_{x1}=I_{x}\cos^{2}\alpha+I_{y}\cdot\sin^{2}\alpha-I_{xy}\cdot\sin2\alpha
I_{x1}=I_{y}\cos^{2}\alpha+I_{x}\cdot\sin^{2}\alpha+I_{xy}\cdot\sin2\alpha
Рисунок 2 — Поворот осей на заданный угол α
Данные формулы можно представить в графическом виде (рисунок 3). По графику видно, что при определенных угла поворота осей (\alpha_{0} и \alpha_{0}+\pi/2) момент инерции достигает максимального (I_{max}) и минимального значений (I_{min}). Эти углы соответствуют главным осям инерции сечения.
Рисунок 3 — Зависимость момента инерции от угла поворота осей
В инженерных расчетах чаще всего используются моменты инерции относительно главных центральных осей, т.е. главных осей, проходящих через центр тяжести сечения (для симметричных профилей они совпадают с осями симметрии сечения).
Для максимизации момента инерции необходимо распределить площадь сечения на наибольшем расстоянии от оси. Например, при равной площади сечения момент инерции относительно главной оси Х у двутаврового профиля будет значительно выше, чем у квадратного (рисунок 4).
Рисунок 4 — Момент инерции двутавра 20Ш1 относительно главной оси х в 20 раз больше, чем у эквивалентного по площади квадрата
Следует отличать момент инерции от статического момента инерции, который определяется как интеграл первой степени расстояния:
S_x = \int_A y \, dAи используется, например, при расчёте напряжений в составных сечениях и проверке на сдвиг.
Как обозначаются моменты инерции (СП 16.13330.2017, Приложение А)
- I_{x}; I_{y} — моменты инерции сечения брутто относительно осей x-x и y-y соответственно;
- I_{xn}; I_{yn} — моменты инерции сечения нетто относительно осей x-x и y-y соответственно;
- I_{b} — моменты инерции сечения ветви;
- I_{m}; I_{d} — моменты инерции сечения пояса и раскосов фермы;
- I_{r} — моменты инерции сечения ребра, планки;
- I_{rl} — моменты инерции сечения продольного ребра.
Как определить момент инерции
Определить момент инерции можно тремя основными способами: по интегральной формуле, по табличным значениям для стандартных профилей или через теорему Штейнера.
I = I_c + A \cdot a^2
Теорема Штейнера (теорема о параллельном переносе осей) позволяет вычислить момент инерции относительно произвольной оси, если известен момент инерции относительно центральной оси: I_c — момент инерции относительно центральной оси, A — площадь сечения, a — расстояние между осями.
Применение момента инерции в инженерных расчетах
Момент инерции сечения определяет изгибную жесткость стержня: чем больше момент инерции, тем выше жесткость стержня на изгиб. Он используется при определении прогибов балок и в расчетах на устойчивость (например, для вычисления расчетных длин элементов конструкции — таблица 31 СП 16.13330.2017)
-
\frac{1}{\rho}=\frac{M}{E\cdot I_{x}}
- E\cdot I_{x} — изгибная жесткость;
- \frac{1}{\rho} — кривизна изогнутого стержня;
- M — изгибающий момент в сечении;
- E — модуль упругости материала;
- I_{x} — момент инерции относительно оси X.
Кроме того, через отношение момента инерции к расстоянию между осью сечения и его наиболее удаленной точкой определяется момент сопротивления сечения, который характеризует способность сечения сопротивляться изгибающим моментам и используется при проверке изгибаемых элементов на прочность.
