Статический момент инерции — геометрическая характеристика поперечного сечения, отражающая распределение его площади относительно произвольной оси. Данная величина характеризует момент силы, создаваемый площадью сечения относительно заданной оси. Значение статического момента инерции вычисляется по следующей формуле:
- A — площадь поперечного сечения;
- dA — бесконечно малый элемент площади сечения;
- y — расстояние от оси x до элемента площади dA.
Рисунок 1 — Определение статического момента инерции методом интегрирования
В соответствии с теоремой Вариньона статический момент инерции относительно произвольной оси можно выразить как произведение площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси:
Рисунок 2 — Определение статического момента инерции через координаты центра тяжести и площадь
Это означает, что статический момент инерции отражает момент силы, создаваемый площадью фигуры относительно заданной оси. Следовательно, статический момент инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равен нулю:
Таким образом, с помощью статических моментов инерции и площади сечения можно определить положение центра тяжести сечения:
По СП 16.13330.2017 (Приложение А) обозначение момента инерции характеризуется как:
- S — статический момент сдвигаемой части сечения брутто относительно нейтральной оси.
Применение статического момента инерции в инженерных расчетах
Статический момент инерции используется в формуле Журавского для определения касательных напряжений в произвольной точке сечения балки при изгибе (рисунок 3):
- Q_{y} — поперечная сила в поперечном сечении балки в направлении оси y;
- S_x^{отс} — статический момент инерции отсеченной части сечения выше рассматриваемой точки относительно нейтральной оси (пример определения на рисунке 3);
- I_{x} — осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси;
- b_{y} — ширина сечения в рассматриваемой точке.
Рисунок 3 — Определение касательных напряжения в характерных точках сечения при изгибе в плоскости OYZ
Рисунок 4 — Определение статических моментов инерции отсеченной части для характерных точек сечения
Таблица 1 — Примеры использования статического момента инерции в строительных нормах
| Нормативный документ | Пункт (раздел) | Тип проверки | Формула |
|---|---|---|---|
| СП 16.13330.2017 | п. 8.2.1 | Прочность при действии поперечной силы |
\frac{Q \cdot \color{#FF9842}{S}}{I \cdot t_w \cdot R_s \cdot \gamma_c} \leq 1
|
| СП 16.13330.2017 | п. 14.4.1 | Поясные соединения составной двутавровой балки |
\frac{T}{n \cdot \beta_f \cdot k_f \cdot R_{wf} \cdot \gamma_c} \leq 1
T = \frac{Q \cdot \color{#FF9842}{S}}{I}
T — сдвигающее пояс усилие на единицу длины, вызываемое поперечной силой Q (здесь S — статический момент брутто пояса балки относительно центральной оси)
|
| EN 1993-1-1: Eurocode 3: Design of steel structures | раздел 6.2.6, п. 6.19, 6.20 | Прочность при сдвиге |
\frac{ \tau_{Ed} }{ f_y / ( \sqrt{3} \cdot \gamma_{M0} ) } \leq 1
\tau_{Ed} = \frac{V_{Ed} \cdot \color{#FF9842}{S}}{I \cdot t}
|
| EN 1992-1-1: Eurocode 2: Design of concrete structures | раздел 6.2.2, п. 6.4 | Несущая способность железобетонного элемента на сдвиг |
V_{Rd,c} = \frac{I \cdot b_w}{\color{#FF9842}{S}} \sqrt{ (f_{ctd})^2 + \alpha_1 \cdot \sigma_{\text{ср}} \cdot f_{ctd} }
|
| EN 1992-1-1: Eurocode 2: Design of concrete structures | раздел 7.4.3, п. 7.21 | Кривизна стержня, вызванная усадкой бетона |
\frac{1}{r_{cs}} = \varepsilon_{cs} \cdot \alpha_e \cdot \frac{\color{#FF9842}{S}}{I}
|
